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Multiplikation von brüchen - Referat
Inhalt:
I. Begründung der Behandlung von Bruchzahlen
II. Brüche im Lehrplan
III. Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung nach Padberg
1. Äquivalenzklassenkonzept
2. Gleichungskonzept
3. Größenkonzept
4. Operatorkonzept
IV. Bruchrechnen
1. Addition und Subtraktion von Brüchen
2. Multiplikation von Brüchen
3. Division von Brüchen
4. Zusammenfassung
V. Freiarbeit
VI. Literaturangaben
I. Begründung der Behandlung von Bruchzahlen
Wie Padberg in seiner "Didaktik der Bruchrechnung" feststellt, wird in die Behandlung der Brüche sehr viel Unterrichtszeit investiert. Daher ist die Frage, ob dies gerechtfertigt sei, naheliegend. Im folgenden werden Argumente für die Notwendigkeit der Behandlung von gemeinen Brüchen aufgezeigt, nach dem Nutzen für das tägliche Leben und der innerschulmathematischen Notwendigkeit unterteilt.
Zur Lösung praktischer Probleme des täglichen Lebens ist die Behandlung der Bruchzahlen unerläßlich. Für genaue Messungen reichen vielfach die natürlichen Zahlen nicht aus, so daß Bruchzahlen benötigt werden. Sie sind wichtig bei der Bestimmung von Längen, Flächeninhalten, Volumina, Geldwerten, Zeitspannen, Gewichten und zur knappen Beschreibung von Bruchteilen von Größen (Bsp.: Der vierte Teil einer 5m langen Strecke).
Auch aus innermathematischen Gründen ist die Behandlung von Bruchzahlen notwendig. Es wird der Zahlbereich der Schüler erweitert und die Division ist uneingeschränkt möglich.
Für wichtige Gebiete des Mathematikunterrichts - Prozent-, Zins- und Verhältnisrechnung - werden die Bruchzahlen benötigt.
Kenntnisse aus der Bruchrechnung sind weiterhin notwendig für Äquivalenzumformungen von Gleichungen, Termumformungen und den Umgang mit der Formelsammlung.
II. Brüche im Lehrplan
Jahrgangsstufe 5
5.4. Brüche
"Die Schüler sollen gebräuchliche Brüche z.B. durch Falten, Legen, Zerlegen, Zeichnen darstellen und mit entsprechenden Größenbezeichnungen benennen. Auch beim Rechnen mit konkreten (benannten) Brüchen können sie sich auf handlungsbezogene und zeichnerische Erfahrungen stützen. Ausgehend von konkreten Zehnerbrüchen lernen sie die Dezimalbruchschreibweise verstehen.
konkrete Brüche
gleichnamig konkrete Brüche addieren und subtrahieren
konkrete Dezimalbrüche
konkrete Dezimalbrüche addieren und subtrahieren"
Jahrgangsstufe 6
6.1 Bruchzahlen
"Die Schüler sollen durch konkretes Handeln, zeichnerisches Darstellen und unter Einbeziehung verschiedener Modelle zu einem vertieften Verständnis der Bruchzahlen gelangen. Ausgehend vom Umgang mit gleichnamigen Brüchen lernen sie das Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche. Indem sie geeignete Aufgaben mit Hilfe von Modellen lösen und Brüche als Operatoren auffassen, wird ihnen das Multiplizieren und Dividieren von Bruchzahlen verständlich. Wenige, hilfreiche Reglen können ihnen das Rechnen erleichtern. Die Schüler lösen einfache Aufgaben (geeignetes Zahlenmaterial) und achten dabei auf eine übersichtliche Schreibweise sowie vorteilhaftes Kürzen.
Bruchzahlbegriff
Fachbegriffe: Zähler, Nenner, echter und unechter Bruch, gemischte Zahl
Darstellen am Zahlenstrahl; Ordnen von Bruchzahlen
Erweitern und Kürzen
Bruchzahlen addieren und subtrahieren
Bruchzahlen multiplizieren und dividieren"
6.2. Dezimalbrüche
"Die Schüler sollen lernen, Dezimalbrüche als Stellenschreibweise von Bruchzahlen aufzufassen, zu ordenen und zu runden. Sie vergleichen dabei die Darstellung in Dezimalbrüchen und gewöhnlichen Brüchen.
Beim Addieren und Subtrahieren wenden sie bisheriges Können an und gewinnen zunehmend Sicherheit. Bei der Multiplikation und Division nehmen die Schüler die Kommasetzung begründet vor. Dabei sollen sie einfache Aufgaben auch mündlich oder halbschrftlich lösen können.
dezimale Schreibweise von Bruchzahlen; Runden
Ordnen von Bruchzahlen in Dezimalschreibweise
Dezimalbrüche addieren und subtrahieren
Dezimalbrüche multiplizieren und dividieren (auch durch Dezimalbruch)"
Jahrgangsstufe 7
7.1 Taschenrechner, Dezimalbrüche, Prozentrechnung
"Beim Rechnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen erfassen die Schüler die Vorzüge der Schreibweise mit Dezimalstellen. Sie erkennen durch das Beschreiben und Vergleichen von Anteilen mittels Brüchen die Notwendigkeit eines normierten Vergleichsbruchs (Hundertstel). Anschauliche Darstellungen sowie vielfältige, alltagstypische Aufgaben helfen den Schülern, den Prozentbegriff zu verstehen."
Umrechnugn von Brüchen in Dezimalbrüche und umgekehrt; nicht abbrechende Dezimalbrüche; Näherungswerte
Rechnen mit Dezimalbrüchen
Jahrgangsstufe 8
8.2 Rationale Zahlen
"Die Schüler lernen neben den bisher bekannten Zahlbereichen auch die nagativen rationalen Zahlen kennen. Ausgehend von realitätsnahen Situationen gewinnen sie durch Übertragen der Erfahrungen mit ganzen Zahelen sowie durch veranschaulichende Arbeit an der Zahlengeraden notwendige Einsichten. Sie sollen die Rechenregeln verstehen und anwenden.
Rationale Zahlen
Arbeit an der Zahlengeraden
Grundrechenarten mit Rechenregeln"
Bei der Behandlung von Prozent- und Promillerechnung und Gleichungen finden Brüche ebenso Anwendung.
Jahrgangsstufe 9
9.2 Rationale Zahlen, Potenzen und Wurzeln
"Die Beherrschung der Rechenregeln für Grundrechenarten im Bereich der rationalen Zahlen ermöglicht den Schülern einen sicheren Umgang mit Formeln und Gleichungen."
Grundrechenarten im Bereich der rationalen Zahlen (Dezimalbruchdarstellung)
III. Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung nach Padberg
1. Das Äquvalenzklassenkonzept
In der Menge der geordneten Paare (a,b) natürlicher Zahlen definiert man eine Relation "~" durch
(a,b) ~ (b,c) a*b = b*c
Diese Relation "~" ist reflexiv (a R a),
symmetrisch (a R a = b R a) und
transitiv (a R b und b R c = a R c), also eine Äquivalenzrelation.
In der Menge der geordneten Paare natürlicher Zahlen bewirkt sie daher eine Klasseneinteilung.
Die Äquivalenzklasse, in der beispielsweise (3,4) liegt, wird mit 3/4 bezeichnet.
Bei diesem Konzept ist also die Bruchzahl
3/4 die Äquivalenzklasse
3/4 = {(a,b) / a,b Element von N und 3*b = 4*a}
und allgemein die Bruchzahl m/n die Äquivalenzklasse
m/n = {(a,b) / a,b Element von N und m*b = n*a}.
Schreibt man die Bruchzahl 3/4 in aufzählender Mengenschreibweise, so erhält man:
3/4 = {(3,4), (6,8), (9,12), (12,16),....}
Bruchzahlen wie 6/8 oder 12/16 sind Repräsentanten der Äquivalenzklasse 3/4.
Eine Addition und Multiplikation zwischen den Äquivalenzklassen (Bruchzahlen) erfolgt durch folgende Festsetzung:
(m,n) * (p,q) = (m*n, n*q) bzw. (m,n) + (p,q) = (m*q + n*p, nq)
Damit dies eine sinnvolle Definition ist, muß zuerst noch nachgewiesen werden, daß die so definierte Addition und Multiplikation unabhängig ist von den gewählten Repräsentanten. Der Beweis wird an dieser Stelle weggelassen.
Dieser Weg der Einführung wird in der Hochschulmathematik verwendet, da er den Vorteil bietet, daß man nur auf die ganzen Zahlen und ihre Rechengesetze zurückgreifen muß.
Nachteile dieses Wegs sind einerseits, daß eine anschauliche Vorstellung von den Bruchzahlen und von den Verknüpfungen den Schülern kaum zu vermitteln sind. Andererseits erfolgen die Definition der Bruchzahlen wie auch die Rechenoperationen für die Schüler völlig unmotiviert und rein formal. Die Einführung der Addition und Multiplikation erfolgt anwendungsfern.
"Obwohl dieser Ansatz mathematisch einwandfrei, hat er sich in der Schulpraxis nicht durchgesetzt." (Bigalke in Padberg, S. 29).
2. Das Gleichungskonzept
Die Bruchzahl m/n wird als Lösung der Divisionsaufgabe m : n eingeführt.
Unter der Bruchzahl m/n versteht man die Lösung der linearen Gleichung n * x = m.
Das Erweitern und Kürzen kann man mit diesem Schema gut einführen. 3/4, 6/8, 15/20 benennen dieselbe Bruchzahl, da man die zugehörigen Gleichungen 8x = 6 und 20x = 15 aus der Gleichung 4x = 3 durch Multiplikation beider Seiten mit 2 bzw. 5 erhält.
Die Addition zweier Zahlen x und y führt Freudenthal, ein Befürworter dieses Ansatzes folgendermaßen ein: Die Zahl 7/3 wird mit x und die Zahl 3/5 wird mit y benannt.
7/3 + 3/5 = ?
I: 3x = 7,
II: 5y = 3
Finden der Gleichung x + y
Erweitern der Gleicung I mit dem Faktor 5 und der Gleichung II mit dem Faktor 3:
I: 15x = 35
II: 15y = 9
= 15(x + y) = 44
= x + y = 44/15
== 7/3 + 3/5 = 44/15
Die Multiplikation zweier Zahlen wird ähnlich eingeführt:
Definitionsgleichungen: 3x = 7 und 5y = 3
= 15xy = 21
= xy = 21/15
==
Auch dieses Konzept besitzt einige Nachteile, weshalb es in der Hauptschule zur Einführung der Bruchrechenoperationen nicht verwendet wird: Bei diesem Weg sind Kenntnisse aus der Gleichungslehre erforderlich, über die die Schüler in der 5. und 6. Jahrgangsstufe noch nicht verfügen. Außerdem ist dieser Weg wiederum sehr formal, was auch Vertreter dieses Konzepts einräumen. Die Einführung der Division bereitet bei diesem Ansatz Schwierigkeiten, und eine Anwendung der Bruchzahlen als Maßzahlen von Größen ist bei diesem Ansatz nur schwer erklärbar.
3. Das Größenkonzept
Bei diesem Konzept geht man von konkreten Brüchen wie 1/8kg, 1/2 Stunde oder 3/4 km aus, die den Schülern aus dem täglichen Leben vertraut sind. Durch Abstraktion gelangt man dann zu einer festen Bezugsgröße, genannt "das Ganze" oder die "Einheit E" schlechthin. Die Bruchzahl m/n ist also hierbei eine Größe, nämlich die Größe m/n E.
Dieses Konzept bietet den Vorteil der Nähe zu vielen Anwendungen der Bruchzahlen im Alltag und damit gute Rückgriffsmöglichkeiten auf Vorkenntnisse der Schüler. Gut einführen lassen sich mit diesem Konzept das Erweitern und Kürzen, das Addieren und Subtrahieren sowie Sonderfälle der Multiplikation und Division. Allerdings können die Multiplikation und Division kaum mehr generell nach diesem Konzept einführen. Es werden also auch hier Grenzen des Konzepts sichtbar.
4. Das Operatorkonzept
Bei der reinsten Form des Operatorkonzepts werden Bruchzahlen und Bruchoperatoren identifiziert. Bei einer zweiten Variante kann man auch die bruchoperatoren als ein Modell für die Bruchzahlen auffassen und die Bruchzahlen hieraus durch Abstraktion gewinnen. Man kann die Bruchoperatoren auch nicht mehr isoliert sondern im Zusammenhang mit den Größen, auf die sie wirken sehen (Variante 3).
Der Ansatz des Operatorkonzepts, Bruchzahlen als Operatoren aufzufassen, scheint dabei auf den ersten Blick recht abwegig zu sein. Jedoch finden sich im Alltag übliche Sprechweisen wie "2/3 von 6kg sind 4kg". Dies kann man auch so deuten, daß durch "2/3 von" der Größe 6kg die Größe 4kg zugeordnet wird. In diesem Sinne kan man die Bruchzahl 2/3 als Funktion oder wie in der Schule üblich als Operator auffassen, der den Größen g die Größe 2/3 von g zuordnet.
Für den Einsatz im Unterricht ist es wichtig die Funktionen zu konkretisieren, etwa mit Hilfe von Maschinen. So kann sich der Schüler eine Maschine mit der Eingabe x und der Ausgabe 3/4 x leichter vorstellen als eine Funktion x - 3/4 x. Das die Maschine nur als ein schwarzer Kasten gesehen wird (black box) spielt nach Griesel (vgl. Padberg, S. 32) keine entscheidende Rolle.
Das Operatorkonzept im Sinne von Variante 2 beginnt mit Multiplikations- und Divisionsoperatoren. Mathematisch gesehen ist ein Multiplikationsoperator (*n) jeweils eine Abbildung eines Größenbereiches in sich, bei der jeder Größe a aus G die Größe a*n aus G zugeordnet wird, also:
G -- G mit a -- a*n
Divisionsoperator (:n): G -- G mit a -- a : n
Die Konkretisierung der Multiplikationsoperatoren erfolgt im Unterricht durch Maschinen, die z.B. jeden eingegebenen Stab auf die n-fache Länge kontinuierlich strecken oder für jeden Stab aus ihrem Vorrat n gleichlange Stäbe zu einem neuen Stab n-facher Länge zusammensetzen. Die Konkretisierung des Divisionsoperators erfolgt durch die Vorstellung, daß die Maschinde den eingegebenen Stab in n gleichlange Stäbe zerlegt und davon einen Teilstab ausgibt.
Durch Hintereinanderschalten von Maschinen läßt sich eine Verkettung von Multiplikationsoperatoren und auch eine Verkettung von Divisionsoperatoren einführen. Das Ergebnis ist wiederum ein Multiplikations- bzw Divisionsoperator.
Für die Verkettung von Multiplikations- und Divisionsoperatoren gilt:
(*m) ° ( : n) = ( : n) ° (*n)
Der Bruchoperator (* m/n) kann jetzt definiert werden durch (* m/n) = (*m) ° ( : n).
Wendet man einen Bruchoperator auf eine Größe g an, so gilt:
(* m/n) (g) = (g : n) *m und auch (* m/n) (g) = (g * m) : n
Im Anschluß an die Behandlung der Bruchoperatoren erfolgt die Behandlung von Gegenoperatoren, dh, von Operatoren, die die Wirkung der ursprünglichen Operatoren aufheben. So findet man zum Bruchoperator (* m/n) den Gegenoperator (* n/m).
Auch das Operatormodell weist einige Nachteile auf:
Als Problem kann sich bei diesem Konzept erweisen, daß die Mutliplikation und Division von Brüchen vor der Addition und Subtraktion eingeführt werden. Bei der Abfolge Multiplikation und dann Addition, wie es bei Variante 2 üblich ist, gibt es einige Nachteile, die später noch eingehender erläutert werden. Zu Beginn des Bruchrechenlehrgangs erfolgt bei dem Operatormodell keine Anknüpfung an die Vorerfahrung der Schüler mit Brüchen.
Die Behandlung des Erweiterns und des Kürzens durch das Einschieben bzw. Herausnehmen wirkungsloser Operatorpaare wird den Schülern keine anschauliche Vorstellung vermittelt, warum zwei gegebene Brüche gleichwertig sind.
Beim Operatorkonzept ist die Gefahr groß, daß man für die Bruchrechnung mehr Zeit investiert als sonst üblich. Nach Lörcher übt und erklärt man in der 6. Jahrgangsstufe durchschnittlich 8 Stunden lang Operatoren um danach fast genau so viel Zeit für die Bruchrechnugn zu benötigen wie Klassen, die sie ohne Operatoren kennenlernen.
Ein erhöhter Zeitaufwand ist dann gerechtfertigt, wenn hieraus größere Erfolge in der Behandlung der Bruchrechnung resultieren. Doch dies ist nach einer umfangreichen Untersuchung Padbergs nicht der Fall.
IV. Bruchrechnen
Nach Aebli (1988) entwickelt sich das beziehungsvolle Verständnis für eine Rechenoperation in vier Stufen:
Durch handelndes Umgehen mit konkret-anschaulichem Material
Durch bildliche Darstellungen der Operation
Durch ihrer Darstellung mit Hilfe von Zeichen und Symbolen
Verinnerlichung der Operation durch Übung und Automatisierung ihrer Anwendung
1. Addition und Subtraktion
1.1 Einführung
1.1.1 Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche
Die Einführung der Addition und Subtraktion gleichnamiger Brücher erfolgt bereits in der 5. Jahrgangsstufe. Bevor mit Bruchzahlen gearbeitet wird, beschäftigen sich die Schüler mit konkretem Dazulegen und Wegnehmen von Bruchteilen, d.h. statt mit der Addition von Bruchzahlen beschäftigt man sich erst mit der Addition von Größen. Es wird zum Beispiel am Kreis (Pizza/Torte), am Rechteck (Schokolade), am Zahlenstrahl oder mit Flüssigkeiten gearbeitet.
So läßt sich die Addition von 2 Längen 1/5 m + 2/5 m auf der Repräsentantenebene leicht realisieren. Die Schüler legen zwei Strecken oder Stäbe entsprechender Länge aneinander. Die Gesamtlänge der beiden Stäbe liefert dann die gesuchte Summe:
Solche Aufgabentypen können auch zeichnerisch dargestellt werden.
Eine andere Möglichkeit der leichten Veranschaulichungsmöglichkeit bildet die Addition von Flächeninhalten, wie zum Beispiel 1/5 dm^2 und 2/5 dm^2, wenn man Repräsentanten dieser Flächeninhalte zusammenfaßt:
Zur Addition bzw. Subtraktion gleichnamiger Brüche, bei denen die Bezugsgröße nicht mehr " ein Ganzes" wie 1m oder 1 dm^2 ist, eignet sich folgende Aufgabe:
(Quelle: Schulbuch: Lernstufen Mathematik 5, Cornelson Verlag)
Die Lösung erfolgt durch Arbeiten mit Pappkreisen: 5/8 Torte + 2/8 Torte = 7/8 Torte
Weiterhin sollen dargestellte Operationen erkannt und später auch selbst gezeichnet werden:
Rechnerische Operationen:
Der Schritt von der Göße zur Bruchzahl ist in diesem Fall - Größenkonzept - unproblematisch, da nur die Größeneinheiten weggelassen werden müssen.
Mit den Schülern können nun folgende Rechenregeln formuliert werden:
Addition von gleichnamigen Brüchen: Bruchteile mit gleichem Nenner werden addiert, indem man die Zähler addiert. Beispiel: 1/5 + 3/5 = 4/5
Subtraktion von gleichnamigen Brüchen: Bruchteile mit gleichem Nenner werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert. Beispiel: 4/5 - 3/5 = 1/51.1.2. Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche
Das konkrete Dazulegen und Wegnehmen ungleichnamiger Brüche innerhalb der Bruchfamilie (Kreis...) führt zur Notwendigkeit, den gleichnamigen Nenner zu suchen.
Beispiel
Uli und sein Freund Peter essen zusammen eine rechteckige Pizza. Uli ißt 1/4 Pizza, Peter 3/8 Pizza. Wieviel Pizza haben sie zusammen gegessen?
1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8
Zusammen haben sie 5/8 Pizza gegessen.
Der Aufgabentyp kann auch mit Mengendarstllung eingeführt werden:
Durch weitere ähnliche Aufgaben zur Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche gelangen die Schüler zu folgender Regel:
Addition ungleichnamiger Brüche: Um ungleichnamige Brüche zu addieren, müssen sie erst durch Erweitern gleichnamig gemacht werden. Beispiel:
Subtraktion ungleichnamiger Brüche: Um ungleichnamige Brüche zu subtrahieren, müssen sie erst durch Erweitern gleichnamig gemacht werden. Beispiel: Es eigenen sich auch folgende Merksätze, vor allem in Bezug auf das Bilden des Hauptnenners:
Addition:
3/4 + 5/6 GleichnamigmachenVielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36... Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36 ...= Hauptnenner 123/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12Subtraktion:
9/10 - 3/4 GleichnamigmachenVielfache von 10: 10, 20, 30... Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32...= Hauptnenner 20 9/10 - 3/4 = 18/20 - 15/20 =3/201.1.3. Addition und Subtraktion gemischter Zahlen
Um eine spätere Unsicherheit bei solchen Aufgabentypen zu vermeiden , ist es notwendig, es an dieser Stelle zu behandeln.
Beispiel: 5 1/4 bedeutet: 5 + 1/4 = 5/1 +1/4 = 20/4 +1/4 = 21/4
Aufagbe: 5 1/4 + 2/5 = 5 5/20 + 8/20 = 5 13/20
Durch die Einführung der gemischten Zahlen verhindert man das Rechnen mit großen Zahlen:
Beispiel: 5 1/4 + 2/5 = 21/4 + 2/5 = 105/20 + 8/20 = 113/ 20
1.1.4 Weitere Aufagenbeispiele
1.2. Typische Schülerfehler und mögliche Ursachen nach Padberg
Bruchzahl plusBruchzahl (A1)
Es tritt hier überwiegend folgendes Fehlermuster auf :
Schüler, die mit dem Bruchrechenlehrgang der Multiplikation begonnen haben, machen diesen Fehler fast doppelt so häufig wie diejenigen, die mit Addition begonnen haben.
Mögliche Ursachen:
Unscharfe, anschauliche Bruchvorstellungen
Verwechslung bzw. Vermischung der Addittion von Brüchen und der im täglichen Leben häufig vorkommenden Addition von Verhältnissen:
Peter hat zunächst 2 von 5, danach 1 von 3 Spielen gewonnen. Er hat insgesamt 3 (= 2 + 1) von 8 (= 5 + 3) gewonnen.
Mängel im Bruchzahlenverständnis: Der Bruch benennt nicht eine Zahl, sondern besteht aus 2 voneinander unabhängigen natürliche Zahlen. Dieses Verständnis kann durch Benutzung des Operatorkonzepts verstärkt werden.
Übertragung der Multiplikation auf die Addition
Bruchzahl plus natürliche Zahl
Hauptfehlertyp(A 2):
oder
Im Durchschnitt machen etwa 20% der Schüler ja Aufgabe den Fehler. Ansonsten sind noch sogenannte Einbettungsfehler von Bedeutung: n = n/n
Mögliche Ursachen, des auf der semantischen Ebene sehr einfachen Aufgabentyps:
Unterschätzung des Aufgabentyps durch Lehrer führt zur Vernachlässigung im Unterricht
Fehlerhafte Übertragung der Multiplikation auf die Addition:
nicht genügende anschauliche Behandlung und Einbettung der natürlichen Zahlen in die Menge der Bruchzahlen.
Bruchzahl minus Bruchzahl (S 1)
Die Fehlertypen entsprechen meist dem Fehlermuster A 1 der Addition:
Der Fehler wird allerdings nur dann gemacht, wenn a c und bd (Beispeil: 5/8 - 1/3 = 4/5). Bei ungleichnamigen Brüchen kommt dieser Fehler etwas seltener als A 1 vor. Ist das Lösen der Aufgabe (Beispiel: 5/3 - 1/6) durch diese Fehlerstrategie nicht möglich, so wird die Aufgabe meist übersprungen oder seltener durch eine andere Fehlerstrategie gelöst.
Mögliche Ursachen stimmen mit denen des Fehlertyps A 1 überein.
Natürliche Zahl minus Bruchzahl
Die Beobachtungen Padbergs decken sich mit denen der Addition mit folgender Abweichung:
Quote der richtig gelösten Aufgaben liegt niedriger als bei A 2.
Große Unsicherheit der Schüler bei diesem Aufgabentyp ist durch das Auslassen der entsprechenden Testaufgaben zu erkennen.
Belege durch Beispiele
"Von einer Tafel Schokolade wurden 7 Stücke gegessen.
Welcher Bruchteil bleibt übrig ?"
Die Hälfte der Schüler gibt den Bruchteil richtig an (8/15). Als an einer anderen Stelle des Tests die Aufgabe 1 - 7/15 gestellt wird, ergeben sich noch weniger richtige Lösungen.
1.3. Mögliche Gegenmaßnahmen
Mögliche Gegenmaßnamen werden in Bezug auf die Addition dargestellt. Die getroffenen Aussagen gelten ebenso für die Subtraktion.
Anschauliche Grundvorstellung zur Addition aufbauen.
Brüche anfangs unserer Sprechweise entsprechend schreiben: 2 Drittel, 4 Fünftel.....
Rechnungen der Addition (a/b +c/d) und Multiplikation (a/b *c/d) miteinander vergleichen und gegeneinander absetzen, um so die Anwendung der Multiplikation auf die Addition wie bei A1 zu verhindern.
Aufgaben des Typs A 2 sollen bewußt vom Lehrer berücksichtigt werden. Leichte Aufgaben dieses Typs sollen sufgrund anschaulicher Grundvorstellungen über Brüche gelöst werden. Starre Schemata zum Lösen von solchen Aufgaben sollen gemieden werden.
Einbettung der natürlichen Zahlen in die Menge der Bruchzahlen sollte sorgfältig und anschaulich behandelt werden.
Die Schüler sollen prüfen, ob ihr Ergebnis von der Größenordnung her überhaupt stimmen kann. Dieses Abschätzen muß aber im Unterricht gezielt geübt werden.
Daten aus einer Untersuchung von Post: Die Summe von 12/13 + 7/8 sollte rasch überschlagen werden, und die richtige Antwort angekreuzt werden. Vorgegeben waren die Antworten 1, 2, 19, 21 und "ich weiß nicht". 19 und 21 wurden am häufigsten von jeweils mehr als einem Viertel der Schüler angekreuzt.
2. Multiplikation
2.1. Einführung
2.1.1 Multiplikation einer Bruchzahl mit einer natürlichen Zahl
Die Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl wird auf die Addition zurückgeführt.
Konkretes Operieren
Lege mit den aus Papierkreisen hergestellten Halben und Vierteln nach, addiere und multipliziere wie im Beispiel:
1/4 1/2 3/4
a) 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 5 * 1/4 = 5/4 = 1 1/4
Zeichnerisches Operieren:
Hier soll eine Modellvariation erfolgen. An Kreisen, Rechtecken oder am Zahlenstrahl dargestellte Operationen sollen erkannt und dargestellt werden.
Bestimme das Dreifache des gekennzeichneten Bruchteils:
Am Zahlenstrahl dargestellte Aufgaben als Addition und Multiplikation erkennen lassen.
Brüch kann man multiplizieren!
Schreibe zu jeder Abbildung die Aufgabe:
Symbolische Ebene: Hier wird die Multiplikation von Brüchen mit natürlichen Zahlen auf die Additionsoperation zurückgeführt.
Die Schüler gelangen induktiv zu folgender Regel:
Man multipliziert eine Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert. Der Nenner bleibt gleich. Beispiel: 5 * 2/3 = 10/3 = 3 1/32.1.2 Multiplikation eines Bruches mit einem Bruch
Geeignet sind hier die sogenannten "von Aufgaben" (Beispiel: 2/3 von 3/4). Es muß allerdings die Bedeutung des Wortes von geklärt werden: von = mal
Konkretes Operieren durch Papierfalten (1/2 von 1/2) oder Pfennige legen (2/3 von 3/4):
Konkretes Operieren durch Pfennige oder Kreise legen
Zeichnerisches Operieren:
In Schulbüchern wird häufig das Flächenmodell verwendet:
Erkläre und löse die Aufgabe:
2/6 von 6/8 sind 2/8 sind 1/4
Die Schüler gelangen so zu folgender Regel:
Multiplikation zweier Brüche: Zwei Brüche werden multipliziert, indem man jeweils die Zäler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander: Zähler mal Zähler / Nenner mal Nenner Beispiel: Für das Rechnen auf der symbolischen Ebene sind in den Schulbüchern meist genügend Aufgaben vorhanden.
Bei den Ergebnis ist - genauso wie bei den anderen Rechenoperationen - darauf zu achten daß es immer auf die einfachste Form gebracht wird durch Kürzen und Umwandeln in eine gemischte Zahl. Weiterhin sollte auf das Kürzen vor dem Ausmultiplizieren geachtet werden, um das Rechnen mit zu großen Zahlen zu vermeiden.
Beispiel:
2.1.3 Multiplikation eines Bruches mit einer gemischten Zahl
Gemischte Zahlen werden in unechte Brüche verwandelt. Dann wird das oben genannte Verfahren angewendet:
Zähler mal Zähler / Nenner mal Nenner
= Kürzen, wenn möglich
=Zähler und Nenner ausmultiplizieren
= Ergebnis vereinfachen
Beispiel:
2.1.4 Andere Einführungsmöglichkeit: Flächen
Für den Flächeninhalt eines Rechtcks mit den Sitenlängen a m und b m (a,b, aus N) gilt:
F = (a*b) m^2
Soll diese Formel auch für Rechtecke mit Bruchzahlen als Maßzahlen Gültigkeit behalten, so hat dies Konsequenzen für die Produktdefinition bei Bruchzahlen:
Beispiel: 2/3 * 4/5
Bei der Bestimmung des Flächeninhalts aufgrund der Zeichnung ergibt sich:
Lösung: F = 8/15 m^2 = 2*4 / 3*5 m^2
2.2. Typische Schülerfehler und mögliche Ursachen
Multliplikation gleichnamiger Brüche
Hauptfehlertyp M 1 findet sich bei über der Hälfter aller Schülerfehler: Die Regeln der Addition/Subtraktion werden auf die Multiplikation übertragen:
Dieser Fehler unterläuft 17 Prozent, d.h. jedem 6. Schüler, mindestens einmal. Meist handelt es sich um Flüchtigkeitsfehler, wenn vorher die Addition behandelt worden ist.
Fehlertyp M 2:
8% der Schüler begehen diesen Fehler mindestens einmal, meist nicht systematisch. Die Schüler rechnen wahrscheinlich
Multiplikation ungleichnamiger Brüche
Die Schüler haben bei diesem Fall am wenigsten Schwierigkeiten, da die Multiplikationsregel besonders einprägsam ist.
Natürliche Zahlen mal Bruchzahl bzw. Bruchzahl mal natürliche Zahl
Jeder vierte Schüler begeht systematisch folgenden Fehler M 3:
Mögliche Ursachen:
Schwierigkeiten der Schüler mit der Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen (n = n/n)
Mangelnde Unterscheidung der Regel des Erweiterns und des Multiplizierens
Übergeneralisierung der vertrauten Multiplikationsregel: Zähler mal Zähler / Nenner mal Nenner.
Da nichts anderes verfügbar ist, multplizieren die Schüler notgedrungen den Nenner auch mit der natürlichen Zahl.
Multiplikation gemischter Zahlen
Werden gemischte Zahlen nicht in Brüche umgewandelt, sind häufig folgende Fehlerstrategien vorzufinden:
1) Die gemischte Zahl/natürliche Zahl wird beibehalten, nur die Brüche werden miteinander multipliziert.
Beispiel: 5 1/2 * 3/7 = 5 3/14
2) Gemischte Zahl mal natürliche Zahl:
Die natürlichen Zahlen werden multipliziert, der Bruch wird beibehalten.
Beispiel: 2 1/2 * 6 = 12 1/2
3) Gemischte Zahl mal gemischte Zahl
Die naürliche Zahlen werden miteinander multipliziert, ebenso die Bruchteile.
Beispiel: 2 1/2 * 4 1/2 = 8 1/4
Mögliche Ursache:
Die drei Aufgabentypen lassen das psychologische Konmzept "Verknüpfe Gleichartiges" erkennen.
2.3. Mögliche Gegenmaßnahmen
Bewußtes Kontrastieren von Aufgabentypen zur Addition und Multiplikation gleichnamiger Brüche um so M1 zu verhindern bzw. abzubauen. Gegenüberstellen von Multiplikation und Divisionsaufageben, da die beiden Regeln auch öfters miteinander verwechselt werden. Gründliche und anschauliche Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen mit folgender Regel: n = n/1 Exakte Klärung des Begriffs "von", von = mal, falls er verwendet wird.
3.Division
3.1. Einführung
3.1.1 Division eines Bruches durch eine natürliche Zahl
Konkretes Handeln: Dies kann durch das Arbeiten mit Kreisteilen, Flüssigkeiten oder Mengen erfolgen. Die Schüler können konkrete Aufgaben zum Beispiel mit Kreisteilen legen und lösen.
Beispiel: Martin, Doris und Christel teilen sich den Inhalt einer 3/4 Liter Flasche Cola. Schreibweise: 3/4 l :3
Lösung durch Probieren mit Flüssigkeiten: 3/4 l : 3 = 1/4 l
Feststellung der Schüler: Der Zähler wird also durch 3 geteilt. der Nenner bleibt.
Konkretes Handeln mit Kreisteilen:
Beispiel: 1 3/4 : 3 = 1/2
Zeichnerische Darstellung
Ein Litergefäß ist zu 4/7 mit Saft gefüllt. Inge hat Durst und trinkt daher die hälfte des Inhaltes aus. Welchen Bruchteil des Litergefäßes hat sie geleert?
Löse mit Hilfe einer Zeichnung.
Zeichnerische Darstellung:
Notiere zu jeder Zeichnung eine Divisionsaufgabe
15/16 : 5 = 3/16
Läßt sich der Zähler nicht ohne Rest dividieren:
Beispiel: 5/6 : 2
Jedes Sechstel wird in 2 gleich große Teile geteilt = es entstehen Zwölftel
5/6 : 2 = 10/12 : 2 = 5/12
Auch durch ähnliche Beipsiele kann gezeigt werden, daß man auf kürzerem Weg, d.h. ohne Zeichnung zum Ergebnis kommen kann.
oder eventuell:
Es läßt sich folgende Regel verfassen:
Einen Bruch dividiert man durch eine natürliche Zahl, indem man den Nenner mit der natürlichen Zahl multipliziert. Der Zähler bleibt. Beispiel: 3.1.2 Division einer gemischten Zahl durch einen Bruch
Die gemischte Zahl wird in einen unechten Bruch umgewandelt. Das weitere Vorgehen erfolgt wie oben in Punkt 3.1.1.
3.1.3 Division eines Bruches/einer natürlichen Zahl durch einen Bruch
Konkretes Handeln
Es werden Gefäße verschiedener Größen beschafft und gestellte Aufgaben durch Umfüllen gelöst.
Beispiel: Martin und Ute bereiten für das Schulfest einen Getränkestand vor. Sie probieren aus, wie viele Gläser zu 1/5 l sie aus einer 7/10 l Flasche Limonade herausbringen.
Lösen der Aufgabe durch Umfüllen: Es werden 3 1/2 Gläser gefüllt
Also: 7/10 : 1/5 = 3 1/2
Nach dem Lösen ähnlicher Aufgaben auch durch zeichnerische Darstellung kann der Rechenweg nachvollzogen werden:
In diesem Zusammenhang muß der Begriff Kehrwert erläutert werden und einige Aufgaben zur Einübung sollten den Schülern gestellt werden.
Der Begriff Kehrwert kan mit Hilfe von Operatoraufgaben eingeführt werden:
Weitere Beispiele
1) Bestimme den Kehrwert von 6/7, 8/13, 15/23, 23/25
2) Gib den Kehrwert an. Verwandle gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche
2/3, 3, 1 1/2, 5, 7, 2 1/3, 9, 4 1/7
Merksatz für die Schüler:
Wir erhalten den Kehrwert eines Bruches, in dem wir Zähler und Nenner vertauschen. Es kann folgende Rechenregel zur Division von Brüchen aufgestellt werden:
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Beispiel: 2/3 : 4/5 = 2/3 * 5/4 = 10/12 = 5/6Division natürlicher und gemischter Zahlen durch einen Bruch
Die natürlichen und gemischten Zahlen werden vor der Anwendung der oben genannten Rechenregeln in unechte Brüche umgewandelt. Anschließend multipliziert man mit dem Kehrwert.
Aufgabenbeispiele
Rechne mit Probe
8/9 : 2/9
7/9 : 2/9
19/12 : 1/4
19/12 : 1/6
Ergänze:
6/14 ---------- : 2/3 ----------
___ ----------- : 3/5 ---------
5/4 ------------ : 3/4 ---------
3/4 ------------ : __ ----------
Berechne. Kürze, wenn möglich vor dem Ausrechnen.
6/5 : 2/3, 3/7 : 14/5, 13/4 : 7/5, 1/4 : 2/3, 3/11 : 15/7, 7/18 : 28/9
Weitere Möglichkeit zur Einführung der Division durch Brüche: Gleichungsketten
Bei Kenntnis der Division Brüchen durch natürliche Zahlen können bereits die ersten Aufgaben der folgenden Gleichungen gelöst werden:
3/2 : 500 = 3/10003/2: 100= 3/2003/2: 20= 3/403/2: 4= 3/83/2: 4/5 = ?= Der Dividend bleibt unverändert (3). Der Divisor wird jeweils gefünftelt, d.h. das Ergebnis wird verfünffacht. Gilt das Permannenzprinzip der natürlichen Zahlen auch für die Bruchzahlen, muß festgesetzt werden: 3/2 : 4/5 = 3/8 * 1/5 = 3/8 *5
es gilt also: 3/2 * 4/5 = 3/8 * 5 = 3 / 2*4 = 3*5 / 2*4 = 3/2 * 5/4 = 15/8
So ergibt sich zwangsläufig die oben genannte Rechenregel
3.1.4 Division einer natürliche Zahl durch eine natürliche Zahl
Im Bereich der natürlichen Zaheln ist die Division nur in wenigen Spezialfällen durchführbar, nämlich nur dann, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist.
Division durch natürliche Zahlen ist in der Menge der Bruchzahlen stets durchführbar. Durch Einbettung natürlicher Zahlen in die Menge der Bruchzahlen ist die Division uneingeschränkt durchführbar, denn: n = n/1
Dem Schüler darf nicht der Eindruck vermittelt werden, daß die Division zweier natürlicher Zahlen (2:3) plötzlich auch in der Menge der natürliche Zahlen erlaubt ist. Hieraus ergibt sich wahrscheinlich auch die große Unsicherheit gegenüber diesem Aufgabentyp.
3.2. Typische Schülerfehler und mögliche Ursachen
Bruchzahl durch natürliche Zahl ( D 1)
Bei Division gleichnamiger Brüche wird folgender Fehler häufig angewendet, wenn der 2. Zähler durch den 1. Zählbar teilbar ist.
Jedem 5. Schüler passiert dieser Fehler mindestens einmal. Bei 4% ist er systematisch.
Weitere fehlerhafte Regelanwendung: Multiplikation, Kehrwert des ersten Bruches oder Kehrwert beider Brüche
Bruchzahl durch natürliche Zahl
10% aller Schüler multiplizieren statt zu dividieren, wahrscheinlich wegen Problemen der Kehrwertbildung natürlicher Zahlen:
Eine weitere Ursache kann auch die falsche Einbettung natürlicher Zahlen in die Menge der Brüche sein.
Natürliche Zahl durch natürliche Zahl
Die Ergebnisse offenbaren starke Defizite der Schüler hinssichtlich der Grundvorstellung. An der höchsten Auslassungsquote aller Aufgaben wird die Unsicherheit besonders deutlich.
Beispiel: 4 : 5
Einige Schüler weichen auf die für sie lösbare Aufgabe aus: Statt 4 : 5 rechnen sie 5 : 4.
Andere betten natürliche Zahlen falsch in die Bruchzahlen ein:
Bei 2m : 5 erhöht sich allerdings die Richtigkeitsquote um 10% (2m : 5 = 200cm :5 = 40cm).
3.3. Mögliche Gegenmaßnahmen
Starke Betonung der anschaulichen Grundvorstellung (Messen, Teilen) der Division, sowie starker Rückgriff darauf beim Lösen einfacher Aufgaben
Eine breitere anschauliche Einübung und Betonung der Vorstellung eines Bruches als Teil mehrerer Ganzen. Gezieltes Kontrastieren von Aufgaben zur Addition und Division gleichnamiger Brüche ist nötig, um Widerstand gegen Fehlertyp D 1 aufzubauen.
Bewußtes Gegenüberstellen von Multiplikations- und Divisionsaufgaben
Sorgfältige Behandlung von "Bruch durch natürliche Zahl" und Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen.
Ausformulierung nur einer Regel zur Division
4. Zusammenfassung
Beim Lösen von Aufgaben der Bruchrechnugn gehen viele Schüler mechanisch und formal vor. Ihr Lösungsweg ist meist starr und wenig flexibel. Beispiele hierfür sind Aufgaben wie 3 + 1/5; 5 - 1/9; 4 * 1/6; 1 : 1/4: Anstelle einer Lösung durch Rückgriff auf anschauliche Bruchvorstellungen sind diese Aufgaben meist sehr fehlerträchtig.
Defizite lassen sich auch bei Aufgaben wie 3 : 5 erkennen. Daher ist es zunächst notwendig, daß eine anschauliche Bruchvorstellung aufgebaut wird. Die Schüler müssen auch dazu angehalten werden zu prüfen, ob ein gefundenes Ergebnis von der Größenordnung her überhaupt möglich ist.
Bei Fehlern sind im Bereich der Bruchrechnung gezielte Maßnahmen möglich, da eine Konzentration auf nur wenige Fehlertypen auftritt in Bezug auf den Multiplikations- und Additionsrahmen.
Bei allen vier Rechenoperationen bereiten sogenannte "gemischte Fälle" (Bruch und natürliche Zahl kombiniert) wesentlich mehr Schwierigkeiten als Standardfälle ( 2 Brüche).
Padbergs Befunde sprechen für den Beginn der Bruchrechnugn mit der Addition und nicht mit der Multiplikation, da sonst die Multiplikationsregel häufiger auf die Addition und Subtraktion übertragen wird.
Der Einsatz des Operatormodells bringt in der Bruchrechnung laut Padberg massive Nachteile.
V. Freiarbeit
Im folgenden werden einige Spiele bzw. Aufgaben vorgestellt, die sich zur Freiarbeit eignen.
Bei den einzelnen Spielen sind auch verschiedene Variationen möglich. Die Spiele können bei anderen Themenbereichen Anwendung finden, wenn sie verändert werden ( z. Bsp. die Aktionskarten beim Spiel Pferderennen).
Brain Strain:
Ein Spiel zum Vergleichen von Brüchen
Spielanleitung
Spielplan
Pferderennen
Wegespiel für 2 - 4 Spieler
Spielanleitung
Material: Spielplan
1 Spielfigur für jeden Mitspieler
1 Satz Aufgabenkarten ( auf der Unterseite steht jeweils ein Bruch;
Auf der Rückseite der Karte ein Nenner,
auf den der angegebene Bruch erweitert oder gekürzt werden soll)
Regeln:
Die Spielfiguren werden auf das Startfeld gestellt. Es wird vereinbart, wer beginnt. Die Aufgabenkarten werden gemischt und mit den Bruchzahlen nach unten hingelegt. Die Zahl, die auf der nach oben liegenden Seite steht, gibt an, auf welchen Bruch erweitert oder gekürzt werden soll.
Wer an der Reihe ist, deckt die oberste Aufgabenkarte auf und versucht, den Bruch auf den vorgegebenen Nenner zu erweitern oder zu kürzen. Manche Brüche lassen sich in zwei Schritten (zuerst kürzen und dann erweitern) auf den gewünschten Nenner bringen.
Der so berechnete Zähler gibt an, wie viele Felder der Spieler vorrücken darf.
Sollte der Spielstein genau auf ein viereckiges Feld treffen, darf nicht gezogen werden.
Kann ein Bruch nicht auf den angegebenen Nenner gebracht werden, darf ebenfalls nicht gezogen werden. Dies gilt auch, wenn der Spieler falsch erweitert oder gekürzt hat.
Das Aufgabenkärtchen wird zur Seite gelegt. Der nächste Spieler ist nun an der Reihe.
Wer zuerst das Ziel erreicht, gewinnt.
Sollten vor dem Spielende alle Aufgabenkärtchen benutzt worden sein, werden sie neu gemischt.
Spielvariante:
Die Aufgabenkärtchen werden nur auf einer Seite beschriftet und zwar mit Aufgaben zur Bruchrechnung (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division). Die Spieler müssen die Aufgabe rechnen. Der so errechnete Zähler gibt an, wie viele Felder der Spieler vorrücken darf.
Bsp: 2/5 + 1/10 Der Spieler darf 5 Felder vorrücken (2/5 + 1/10 = 5/10)
Spielplan:
Brüche würfeln
Übung für zwei Spieler
Spielanleitung
Material: 2 zwölfflächige Würfel
Regeln:
Die zwei Spielr würfeln abwechselnd mit zwei Würfeln. Aus den beiden gewürfelten Zahlen wird jeweils ein unechter Bruch gebildet. Wer von den beiden Spielern den größeren Bruch hat, erhält dafür einen Punkt. Wer nach einer bestimmten Zeit die meisten Punkte hat, ist Sieger.
Lotto
Übung zur Addition und Subtraktion
Beim Lotto suchen Schüler und Schülerinnen zusammengehörige Kartenpaare (Rechenaufgabe und Bild der Rechenaufgabe). Zur Kontrolle sollten auf der Rückseite zusammengehörige Kartenpaare mit dem gleichen Symbol gekennzeichnet werden.
Die Schüler ordnen jeweils der Aufgabenkarte die entsprechende Bildkarte zu.
Kommentare zum Referat Multiplikation von brüchen:
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