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Ableitungsregeln - 2.Version - Referat
Um zu verstehen, was Ableitungsregeln sind, muss man sich nicht nur mit dem Differentialquotient auskennen, sondern auch mit dem Differenzenquotient und der h – Methode.
Gerade bei Kurvendiskussionen spielen die Ableitungsregeln eine große Rolle. Daher braucht es hier auch Verständnis um eine Ableitungsregel in einer Funktion richtig interpretieren können. Besonders kommt es hier auf die erste und zweite Ableitung an, da sie von besonderem Interesse sind.
Wichtige Funktionen und ihre Ableitung
Wenn man sich die h – Methode zur Hilfe nimmt, kann man eine Ableitung für eine Funktion herleiten. Dieser Weg birgt jedoch Risiken und ist daher leider auch recht aufwändig. Der Schüler macht es sich erheblich einfacher, wenn er einmal die wichtigsten Ableitungsregeln auswendig lernt und versteht, um diese dann anwenden zu können.
Schwierige Funktionen und ihre Ableitung
Nicht immer hilft es jedoch, wenn man die Ableitungsregeln einzeln auswendig weiß. Oft besteht der Fall, dass mehrere dieser Funktionen über verschiedene Rechenzeichen verbunden sind. Die können:
- geteilt
- plus
- minus
- mal
sein. Auch Verschachtelungen können dadurch zu Stande kommen. Es wäre daher wichtig, wenn jeder die folgenen Ableitungsregeln kennt:
- Faktorregel
- Kettenregel
- Potenzregel
- Quotientenregel
- Differenzregel
- Summenregel
- Produktregel
Damit die wichtigsten Funktionen in den Köpfen der Schüler bleiben, sollten sie die Ableitungen immer selbstständig berechnen. Dadurch verfestigt sich jede einzelne Ableitungsregel noch einmal im Gehirn und kann bei Bedarf abgerufen werden.
Mehr als eine Ableitung
Kann man die Ableitung der Funktion differenzieren, so kann die zweite Ableitungsregel von der ersten Ableitungsregel definiert werden. Somit besteht die Möglichkeit, dass eine Funktion nicht nur einfach differenzierbar ist, sondern auch zweifach, oder mehrfach. Bei der zweiten Ableitungsregel gibt es häufig einige Anwendungen, die physikalisch sind. Beispielsweise sagt die erste Ableitung Ort und Zeit aus, die zweite jedoch die Beschleunigung. Hier werden auch Schreibweisen angewendet, die normalerweise nur in der Physik vorkommen. Wenn zum Beispiel ein Abgeordneter davon spricht, das es zu einem „Rückgang des Anstiegs von Arbeitslosenzahlen“ gekommen ist, herrscht hier die zweite Ableitungsregel bei „Änderung des Anstieges“ und die erste beim Anstieg der Arbeitslosenzahlen.
Partielle Ableitungen
Über eine partielle Ableitung spricht man immer dann, wenn beispielsweise in der Differentialrechnung die Funktion mit mehreren Argumenten auftaucht. Eines der Argumente muss dann in die Richtung der Koordinatenachse ausgerichtet sein. Auf diese weise werden die anderen Argumente einfach nur konstant gehalten und darauf kommt es bei der partiellen Ableitung an.
Zusammenhang von Stetigkeit, Ableitung und partieller Ableitungen ist eine Funktion absolut differenzierbar, dann ist sie stetig.
Ist eine Funktion absolut differenzierbar, so ist sie zusätzlich partiell zu differenzieren. Dies wiederum legt nahe, das sie auch total zu differenzieren ist.
Ist eine Funktion partiell differenzierbar, so ist nicht nicht automatisch auch stetig, oder total differenzierbar.
Ist eine Funktion jedoch stetig und partiell differenzierbar, d.h. ist die Ableitungsregel stetig, ist diese automatisch total und stetig differenzierbar.
Dies ist alles nicht ganz so einfach, wenn man sich jedoch erst einmal in der Materie befindet und einige Übungen dazu durchführt, kann man sich mit dem Thema sicherlich schnell indentifizieren.
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