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Berechnung des maximalen Volumen eines Körpers - Referat
1. Extremwertaufgaben – Ein weiterführendes Beispiel
Aufgabe: Herr Müller ist ein großer Liebhaber von Aquaristik und Zierfischen. Er besucht regelmäßig mit seiner Frau Aquarien und Ausstellungen. Nun möchte er sich selbst ein Aquarium zulegen, dieses soll aber ganz seinen Bedürfnissen entsprechen und keinesfalls gewöhnlich sein. Daher möchte er es selbst bauen und besorgt sich aus dem Baumarkt eine rechteckige Glasplatte, die 16 Dezimeter (1,6 m) lang und 10 Dezimeter (1 m) breit ist, den dazu erforderlichen Glasschneider und einige Kartuschen Silikon.
Frage: Nun möchte er wissen, wie er die Platte zurechtschneiden muss, damit sein Aquarium später möglichst viel Wasser fasst.
Also: Wie kann er das Volumen maximieren?
Zusatz: Das Aquarium soll später bis 5 cm (0,5 dm) unter den Rand gefüllt werden! Wie viel Liter Wasser braucht Herr Müller?
Lösungs- Herr Müller muss an allen vier Ecken ein Quadrat von der Länge x (spätere
ansatz: Höhe) herausschneiden um die Seitenflächen zu schaffen, welche hochkant auf die Grundfläche gestellt werden müssen und den Rand des Aquariums bilden sollen. Für welchen Wert von x wird das Volumen maximal?
Das finden wir raus, indem wir den Extremwert von x ausrechnen. Dabei gehen wir folgendermaßen vor:
1.Block 1.1 Erfassen des Problems und mathematische Umsetzung
1. Schritt: Den Aufgabentext in eine mathematische Fragestellung übersetzen!
2. Schritt: Aufschreiben, was gegeben und was gesucht ist. Den Unbekannten Namen (a, x, q, A, F, V usw.) geben.
3. Schritt: Eventuell anfertigen einer Skizze mit den entsprechenden Größen.
2.Block 1.2 Entwickeln einer Zielfunktion
4. Schritt: Falls die Zielfunktion von mehreren Variablen abhängt, Gleichungen suchen (die sog. Nebenbedingungen), die die Anzahl der Variablen in der Zielfunktion verkleinern, bis nur noch eine übrig bleibt! (Eine Variable durch eine andere ausdrücken)
5. Schritt: Finden einer Formel für die zu optimierende Größe (die sog. Zielfunktion)!
3.Block 1.3 Rechnung bzw. Rechenweg
6. Schritt: Festlegen des Definitionsbereichs für diese Variable! ( Eventuelles Probieren durch Einsetzen von verschiedenen Werten durch Nebenrechnungen)
7. Schritt: Bestimmen der relativen Extremstellen der Zielfunktion im zulässigen Bereich!
8. Schritt: Bestimmen der absoluten Extremstelle der Zielfunktion für verbliebene Variable durch Vergleich mit den Randwerten des Definitionsbereiches!
4.Block 1.4 Ergebnis und Antwort
9. Schritt: Berechnen der übrigen relevanten Größen!
10. Schritt: Formulieren der Lösung in einem Antwortsatz!
1.Block : 1.1 Erfassen des Problems
und mathematische Umsetzung
1. Schritt: Den Aufgabentext in eine mathematische Fragestellung übersetzen!
Haben wir schon oben gemacht;
Für welchen Wert von x wird das Volumen des Aquariums maximal?
2. Schritt: Aufschreiben, was gegeben und gesucht ist. Den Unbekannten Namen geben!
Gegeben: Rechteckige Glasplatte:
L (Länge) = 16 dm
B (Breite) = 10 dm
Gesucht:
h (Höhe) = x = ?
3. Schritt: Eventuell anfertigen einer Skizze mit den entsprechenden Größen!
2.Block : 1.2 Entwickeln
einer Zielfunktion
4. Schritt: Falls die Zielfunktion von mehreren Variablen abhängt, Gleichungen suchen
(die sog. Nebenbedingungen), die die Anzahl der Variablen in der
Zielfunktion verkleinern, bis nur noch eine übrig bleibt! (Eine Variable durch eine andere ausdrücken)
- Durch h (x) sollen sowohl l als auch b ausgedrückt werden.
- l ergibt sich, indem wir x zweimal von L abziehen:
l = L – 2x = 16 dm – 2x
- b ergibt sich, indem wir x zweimal von B abziehen:
b = B – 2x = 10 dm – 2x
5. Schritt: Finden einer Formel für die zu optimierende Größe (die sog. Zielfunktion)!
Grundlage:
Formel zur Berechnung des Volumens von einem Quader:
V= l ∙ b ∙ h (Volumen = Länge ∙ Breite ∙ Höhe)
 Durch Einsetzen ergibt sich daraus nun unsere Zielfunktion :
V(x) = l ∙ b ∙ x
V(x) = (16 dm – 2x) ∙ ( 10 dm – 2x) ∙ x
V(x) = 4x3 – 52x2 + 160x
3.Block : 1.3 Rechnung bzw. Rechenweg
6. Schritt: Festlegen des Definitionsbereichs für diese Variable! ( Eventuelles Probieren durch Einsetzen von verschiedenen Werten durch Nebenrechnungen)
Dv = [0 ; 5]
Auf diesen Definitionsbereich kommt man, wenn man testet, durch welchen Wert von x
die Zielfunktion Null wird, da ja logischerweise ein positiver Wert herauskommen muss.
Das ist auch der Grund, weshalb negative Zahlen ausgeschlossen sind, ebenso wie alle
Zahlen die kleiner oder gleich Null sind!
Nebenrechnung:
10 – 2x = 0 /-10
– 2x = -10 /: (-2)
x = 5
7. Schritt: Bestimmen der relativen Extremstellen der Zielfunktion im zulässigen Bereich!
- Wir bilden als erstes die Ableitungen:
V(x) = 4x3 – 52x2 + 160x
V’(x) = 12x2 – 104x + 160
V’’(x) = 24x – 104
- Dann setzen wir die 1. Ableitung gleich Null und berechnen die Nullstellen
V’(x) = 0
0 = 12x2 – 104x + 160 /: 4 ← vereinfachen der Gleichung
0 = 3x2 – 26x + 40
→ x1/2 = 26 -\+ √676 – 4 ∙ 3 ∙ 40
2 ∙ 3
x1/2 = 26 -\+ 14
6
x1 = 26 + 14 = 6,67 ← fällt raus, da 6,67 ≠ Dv (wäre hier das relative Minimum)
6 da sonst V < 0 wäre
x2 = 26 – 14 = 2 → also ist x = 2 dm!
6
- Einsetzen der Extremstellen in die 2.Ableitung um Art der Extrema zu bestimmen
V’’(6,67) = 24 ∙ 6,67 – 104 = 56,08 > 0 ← rel. Minimum = fällt raus!
V’’(2) = 24 ∙ 2 – 104 = - 56 < 0 ← rel. Maximum bei x = 2 !
- Einsetzen von x in Zielfunktion, um Funktionswert zu erhalten
V(2) = 4 ∙ 23 – 52 ∙22 + 160 ∙ 2
= 144
→ d.h. das maximale Volumen des Aquariums beträgt 144 dm³, also 144 Liter,
da 1 dm³ = 1 Liter!
8. Schritt: Bestimmen der absoluten Extremstelle der Zielfunktion für verbliebene Variable durch Vergleich mit den Randwerten des Definitionsbereiches!
Dv = [0 ; 5]
V(x) = 4x3 – 52x2 + 160x
V(0) = 4 ∙ 03 – 52 ∙02 + 160 ∙ 0
V(0) = 0 < 144
V(5) = 4 ∙ 53 – 52 ∙52 + 160 ∙ 5
V(5) = 0 < 144
→ Daher absolutes Maximum bei x = 2
4.Block : 1.4 Ergebnis
und Antwort
9. Schritt: Berechnen der übrigen relevanten Größen!
- Einsetzen von x in die Gleichungen von l und b
l = 16 dm – 2x
l = 16 dm – 2 ∙ 2 dm = 12 dm
b = 10 dm – 2x
b = 10 dm – 2 ∙ 2 dm = 6 dm
Zusatz : Ausrechnen wie viel Wasser wir brauchen
→ gefüllt bis 5 cm (0,5 dm) unter den Rand, daher neue Höhe:
h2 = 2 dm – 0,5 dm
h2 = 1, 5 dm
VZusatz = l ∙ b ∙ h2
= 12 dm ∙ 6 dm ∙ 1,5 dm
= 108 dm3 = 108 Liter
10. Schritt: Formulieren der Lösung in einem Antwortsatz!
Für den Wert von x = 2 wird das Volumen des Aquariums maximal, d.h. die Höhe beträgt 2 Dezimeter. Daraus ergibt sich, dass es eine Länge von 12 und eine Breite von 6 Dezimetern hat und maximal 144 Liter Wasser fasst. Wird es bis 5 cm unter
den Rand gefüllt, so benötigt Herr Müller 108 Liter Wasser!
2.Zur Verdeutlichung:
Darstellung der Graphen
Dieses Referat wurde eingesandt vom User: Cuby
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