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Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonome - Referat
Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonome
Kurzinformation:
Wörter: 1400
Seiten:
Typ: Referat
Sprache: Deutsch
Autor: Stephie_dehen@yahoo.de
Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonometrie)
sin2x + cos2x = 1 Trigonometrischer Pythagoras
sin2x2 + cos2x2 = 1
Darstellung des Sinus mit Hilfe von anderen Winkeln
sin x = ± (1 - cos2x)
tan x
sin x = ±
(1 + tan2x)
1
sin x = ±
(1 + cot²x)
tan x * cot x = 1
Darstellung des Kosinus mit Hilfe von anderen Winkeln
cos x = ± (1 - sin²x)
1
cos x = ±
(1 + tan²x)
cot x
cos x = ±
(1 + cot²x)
Darstellung des Tangens mit Hilfe von anderen Winkeln
sin x
tan x = ±
(1 - sin²x)
(1 - cos²x)
tan x = ±
cos x
1
tan x = ±
cot x
Darstellung des Kotangens mit Hilfe von anderen Winkeln
(1 - sin²x)
cot x = ±
sin x
cos x
cot x = ±
(1 - cos²x)
1
cot x = ±
tan x
Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck
x:= alpha y:=beta
a
sin x = "Gegenkathete / Hypotenuse”
c
b
sin y = = cos x
c
b
cos x = "Ankathete / Hypotenuse"
c
a
cos y = = sin x
c
a
tan x = "Gegenkathete / Ankathete"
b
b
tan y = = cot x
a
b
cot x = "Ankathete / Gegenkathete"
a
a
cot y = = tan x
b
Komplementwinkelbeziehung
sin (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = sin x
tan (90° - x) = cot x
cot (90° - x) = tan x
Additionstheoreme
sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y
cos (x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y
tan x + tan y
tan (x + y) =
1 - tan x * tan y
cot x * cot y - 1
cot (x + y) =
cot x + cot y
sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x
cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y
tan x - tan y
tan (x - y) =
1 + tan x * tan y
cot x * cot y + 1
cot (x - y) =
cot y - cot x
Funktionen des doppelten Winkels
2 tan x 1 + cot2 x
sin 2x = sin (x + x) = 2 sin x * cos x = =
1+tan2 x 2cot x
cos 2x = cos (x + x) = 1 - 2 sin²x = 2 cos2x -1 = cos2 x - sin2 x
2 tan x
tan 2x =
1 - tan²x
cot²x - 1
cot 2x =
2 cot x
Extra: sin 3x = sin (x + 2x)
= sin x * cos 2x + cos x * sin 2x
= sin x(1 - 2 sin²x) + cos x * 2 sin x * cos x
= sin x - 2 sin3x + 2 sin x cos²x
= sin x - 2 sin3x + 2 sin x (1 - sin²x)
= 3 sin x - 4 sin3x
Funktionen des halben Winkels
x x x x
sin x = sin + = 2sin * cos
2 2 2 2
x x x x x x
cos x = cos + = 2cos2 - 1 = cos2 - sin2 = cos2
2 2 2 2 2 2
x
/>
- 1 - cos2
2
x 1 + cos x
cos = ±
2 2
x 1 - cos x
sin = ±
2 2
x 1 - cos x 1 - cos x
tan = ± =
2 1 + cos x sin x
x 1 + cos x Man beachte bei der folgenden Tabelle
cot = ± die Struktur der Radikanten, deswegen wurde
2 1 - cos x nicht gekürzt
1/6 ð 1/4 ð 1/3 ð 1/2 ð ð 3/2 ð 2 ð
x 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
sin x 1/2 0 1/2 1 1/2 2 1/2 3 1/2 4 0 -1 0
cos x 1/2 4 1/2 3 1/2 2 1/2 1 1/2 0 -1 0 1
tan x 0/3 3/3 9/3 27/3 n.d. 0 - 0
cot x n.d. 3/ 3 3/ 9 3/ 27 0 n.d. 0 n.d.
Umwandlung von Summen von Winkelfunktionen in Produkte
(I) sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y ¦
(II) sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y ¦ (I) + (II) = (III)
(III) sin (x + y) + sin (x - y) = 2 sin x * cos y
a = x + y (1`)
b = x - y (2`)
a + b = 2x
a + b
a =
2
a + b b - a
y = a - =
2 2
2a a + b 2a - a - b
- =
2 2 2
a + b b - a
sin a + sin b = 2 sin * cos
2 2
(I) sin (x + y) = sin x * cos y + sin y * cos x ¦
(II) sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x ¦ (I)-(II)
a + b a - b
sin x - sin y = 2 cos * sin
2 2
sin (x + y)
tan x + tan y =
cos x * cos y
sin (x - y)
tan x - tan y =
cos x * cos y
sin (y + x)
cot x + cot y =
sin x * sin y
sin (y - x)
cot x - cot y =
sin x * sin y
x + y x - y
cos x + cos y = 2cos *cos
2 2
x + y x - y
cos x - cos y = - 2sin *sin
2 2
Quadrantenbeziehungen
I II III IV
x 180° - x 180° + x 360° - x
sin sin x sin x - sin x - sin x
cos cos x - cos x - cos x cos x
tan tan x - tan x tan x - tan x
cot cot x - cot x cot x - cot x
Sinussatz der ebenen Trigonometrie
Satz: In jedem ebenen Dreieck ist das Verhältnis der Sinus zweier Winkel gleich dem dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seiten.
x:= alpha y:= beta z:= gama R:= Radius des Umkreises
a b c
= = = 2 R
sin x sin y sin z
Der Kosinussatz
In jedem ebenen Dreieck ist das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des (von diesen Seiten) eingeschlossenen Winkels.
c² = a² + b² -2ab * cos z
a² = b² + c² -2bc * cos x
b² = a² + c² -2bc * cos y
Kosinusformeln
a = b cos z + c cos y
b = a cos z + b cos x Projektionssatz
c = a cos y + b cos x
Tangensformeln
a sin y
tan x =
c - a cos y
a sin z
tan x =
b - a cos z
b sin z
tan y =
a - b cos z
b sin x
tan y =
c - b cos x
c sin y
tan z =
a - c cos y
c sin x
tan z =
b - c cos x
Mollweidsche Formeln (Karl Mollweide 1744 - 1825, Mathemat. u Astronom)
x y - z
(b + c) * sin = a cos
2 2
y z - x
(a + c) * sin = b cos
2 2
z x - y
(a + b) * sin = c cos
2 2
x y - z
(b - c) * cos = a sin
2 2
y z - x
(c - a) * cos = b sin
2 2
z x - y
(a - b) * cos = c sin
2 2
Nepersche Gleichungen (J.Neper engl. Mathemat. 1550-1617)
x + y
a + b tan
2
=
x - y
a - b tan
2
y + z
b + c tan
2
=
y - x
b - c tan
2
Kommentare zum Referat Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonome:
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