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Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck - Referat
Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck
Die Vermuntbahn im Montafon steigt von der Talstation (1039 m) unter einem mittlerem Winkel von 29,9° bis zur Bergstation (1738 m). Erstelle eine Skizze im Maßstab 1:10000 und bestimme daraus
a.) die Gesamtlänge der Fahrstrecke dieser Seilbahn und
b.) die zurückgelegte Fahrstrecke, wenn sie die Höhe 1200 m zurückgelegt hat.
Durch Messen können wir die Strecken bestimmen, dies ist jedoch eine ungenaue Methode. Besser wäre es, wenn es eine rechnerische Lösung geben würde. Dazu braucht man Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln.
In allen rechtwinkligen Dreiecken, die in einem spitzen Winkel übereinstimmen, sind die Verhältnisse entsprechender Seiten gleich.
Beispiel 1: Zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck mit a = 40° und c =40 cm, so kann man der Zeichnung a » 2,6 cm entnehmen und erhält so als Seitenverhältnis . Für ein weiteres rechtwinkliges Dreieck mit den Winkel a = 40° und der Seitenlänge c´= 2,3 cm kann man damit die Seitenlänge a´ berechnen.
Die dem spitzen Winkel a gegenüberliegende Seite nennt man Gegenkathete, die andere seine Ankathete.
Definition:
Beispiel 2:
a.) Das Dreieck ABC ist rechtwinklig mit a = 30°. Aus der Zeichnung erhält man die
Seitenverhältnisse . Also ist sin 30° = 0,5; cos 30° = 0,9 und tan 30° = 0,6
b.) Fasst man dieses Dreieck als halbes gleichseitiges Dreieck auf, so kann man die Seitenverhältnisse auch berechnen
1.) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit a = 25° und der Hypotenuse c =10 cm. Miss die Katheten und berechne danach (auf zwei Dezimalen genau)
sin25°, cos25°, tan25°, sin65°, cos65°, tan65°.
2.) Zeige: Dreieck ABC mit a = 3,3 cm, b = 5,6 cm, c = 6,5 cm ist rechtwinklig.
Bestimme auf 4 Dezimalen: sina, cosa, tana.
3.) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit tana = 2,4
4.) In einem Dreieck ABC ist die Hypotenuse c dreimal so lang wie die Kathete a.
Ermittle sina, cosa, tana.
Veranschaulichung am Einheitskreis
1.) Bestimme folgende Werte am Einheitskreis. Überprüfe die Werte mit dem Taschenrechner.
a.) sin 78° b.) cos 89° c.)tan 81°
2.) Bestimme mit Hilfe des Einheitskreis zu des folgenden Sinus-, Cosinus-, Tangenswerten die dazugehörigen Winkel.
a.) sin µ= 0,35 b.) cos µ=0,73 c.) tan µ=0,5
3.) Gegeben: a, b, c, µ, ß. Gesucht: x, y.
4.) Gegeben: a = 10,7 cm, b = 6,5 cm, Alpha= 90° Gesucht: c, µ, ß
5.) Gegeben: c = 2,360 km, a= 3,45 m, Alpha = 90° Gesucht: b, µ, ß
6.) Gegeben: c = 56,40 m, µ = 38,5°, Alpha = 90° Gesucht: a, b, ß
7.) Gegeben: a = 148,2 m, ß = 56,2°, y = 90° Gesucht: B; C; µ
8.) Auf einem Turm der Höhe h = 15,0 m ist ein Fahnenmast befestigt, dessen Länge f bestimmt werden soll.
Einem Beobachter B (Entfernung zum Turm e =12,0 m; Augenhöhe a = 1,6 m) erscheinen die beiden Enden des Mastes unter einem Sehwinkel µ = 6,5° .
9.) Die Längen eines Schenkels eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 55,2 cm, ein Basiswinkel beträgt 68°. Berechne die Länge der Basis und der Höhen, sowie den Flächeninhalt.
10.) Die Steigung einer Straße ist das Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontalen Strecke s.
Eine 320,5 m lange gerade Straße hat die Steigung 7,5%.
a.) Berechne den Steigungswinkel dieser Straße.
b.) Wie groß ist der Höhenunterschied, den die Straße überwindet?
c.) Wie lang ist das Straßenstück auf einer Karte um Maßstab 1:25000?
11.) Die Rohrleitung eines Wasserkraftwerks fällt um 360 m. Auf der Karte 1:25000 misst die 3,2 cm. Berechne ihren Neigungswinkel und ihre Länge.
12.) La Torre pendente di Pisa pende per 5.42° . Di quanti metri essa sorpassa, all`altezza di 54 m, la sua basa (misuratti oizzintalmente)?
13.) Den Winkel der Sonnenstrahlen zur Horizontalebene nennt man die Sonnenhöhe.
a.) Wie hoch steht die Sonne, wenn ein 30 m hoher Turm einen 45 m langen Schatten wirft?
b.) A palm tree 21 feet tall casts a horizontal shadow 30 feet long. If the sun rose at 6:00 a.m. and will be directly overhead at noon, can you figure out what time it is?
14.) Mit welcher Geschwindigkeit drehst du dich im Moment infolge der Erdrotation? Deine Position: 47° nördliche Breite und 7° östliche Länge.
15.) Von eine Fenster aus sieht man sie Spitze eines 110m hohen Turmes unter einem Höhenwindel von 9°, seine Basis unter einem Tiefenwinkel von 6°. Wie weit ist der Turm entfernt?
16.)
a.)Berechne den Winkel zwischen der Raumdiagonalen und der Seitenfläche eines Würfel.
b.) Berechne des Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen.
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